Численное Интегрирование Курсовая
Численное интегрирование (историческое название: квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых, которые являются пределами интегрирования. Все работы, похожие на Курсовая работа: Численное интегрирование функции методом Гаусса. Курсовая работа по информатике. Тема: Численное интегрирование. Метод Симпсона. Выполнила Студентка 2 курса. Рефераты, курсовые работы, лекции и доклады. Меню и виджеты. Выйти на главную страницу. Численное интегрирование. Вычисление определенного интеграла I= геометрически сводится к вычислению.
Численное интегрирование разными методами Содержание: Задание Исходные данные. Вычисление интеграла аналитически, методом средних прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона.1 Аналитически.2 Метод средних прямоугольников.2.1 Метод средних прямоугольников при n=1.2.2 Метод средних прямоугольников при n=2.3 Метод трапеций.3.1 Метод трапеций при n=1.3.2 Метод трапеций при n=2.4 Метод Симпсона.4.1 Метод Симпсона при n =1.4.2 Метод Симпсона при n=2.
Вычисление интеграла методом Гаусса 2.1 Одноточечная схема метода Гаусса 2.2 Двухточечная схема метода Гаусса.3 Трехточечная схема метода Гаусса. Сравнительный анализ точности полученных результатов. Вычисление интеграла.1 Аналитически.2 Метод Гаусса.2.1Одноточечная схема.2.2 Двухточечная схема Вывод Задание: 1. Вычислить интеграл аналитически, а затем численно методами средних прямоугольников, трапеций, Симпсона, принимая n=1 и n=2 (n-количество разбиений отрезка интегрирования) 2.
Вычислить этот же интеграл методом Гаусса по одноточечной, двух точечной и трехточечной схемам интегрирования. Сделать сравнительный анализ точности полученных результатов. Вычислить интеграл аналитически, а затем численно методом Гаусса по одноточечной и двухточечной схемам. Сравнить результаты Исходные данные: a = 0 b = f(x) = x cos(x) f(x,y) = 2x 2 + y 2 1. Вычисление интерграла аналитически, методом средних прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона.1 Аналитически Для вычисления данного интеграла используем формулу интегрирования по частям:. Пусть: u = x dv = cos (x) dx Тогда: du = dx v = sin(x) Следовательно: Откуда получаем: 1.2 Метод средних прямоугольников Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка.
Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах. Соответствующие модификации носят названия методов средних прямоугольников, левых прямоугольников и правых прямоугольников. По методу средних прямоугольников на интервале x i, x i +hимеем 1.2.1 Метод средних прямоугольников для n=1 При n=1: i =a i+h =b = h=(b-a)/n Исходя из этого получаем уравнение: = ((b-a)/n). ( cos( )) Подставляя в полученное уравнение исходные данные получаем: =(( - 0)/1).((0+(( - 0)/1)/2).cos(0+(( - 0)/1)/2)) = 0 = 0 Погрешность: R= =-2,584 1.2.2 Метод средних прямоугольников для n=2 В данном случае исходный отрезок интегрирования разбивается на 2 отрезка интегрирования: (0; ) и (; ). В связи с этим: X 1 =0. = h=(b-a)/n По полученным данным получаем уравнение: = ((b-a)/2).(((x 1 +(b-a)/4).(cos(x 1 +(b-a)/4))+((x 2 +(b-a)/4).(cos(x 2 +(b-a)/4)) Подставляем в полученное уравнение начальные данные и получаем: = (( -0)/2).(((0+( -0)/4).(cos(0+( -0)/4))+( ( +( - )/4).(cos( + ( -0)/4)) = -1,745 = -1,745 Погрешность: R= =-0,636 1. 3 Метод трапеций Метод трапеций - метод численного интегрирования =.3.
1 Метод трапеций при n=1 На отрезке (a;b) заменяем f(x) полином первой степени. В этом случае Xi=a Xi+h=b h=(b-a)/n и уравнение имеет вид: = ((b-a)/n).(a cos(a))+(b cos(b))/2 Подставим исходные данные и получим: = ((-0)/1).(0. cos(0))+(.cos(/2 = -4,935 = -4,935 Погрешность: R0=(-h3/12).f(xi)= 8,117 1.3.2 Метод трапеций при n=2 Отрезке (a;b) разбиваем на 2 отрезка (a;c) и (c;b) и замеим f(x) полином первой степени на обоих отрезках. В этом случае X1=a X2 =c = (a+b)/2 X3 =b h=(b-a)/n и уравнение имеет вид: = ((b-a)/n).(((a cos(a))+(c cos(c))/2)+(( c cos(c))+(b (b))/2)) Подставим исходные данные и получим: = ((-0)/1).(((0. cos(0))+(.cos(/2)+ ((.
( ))+(. cos)/2)) = -2,467 = -2,467 Погрешность: R0=(-h3/12).f(xi)=0,646 численный интегрирование симпсон гаусс 1.4 Метод Симпсона Метод Симпсона - метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на полином второй степени, то есть на параболу.
Формула Симпсона: = hf(x 0 )+4f(x 1 )+f(x 2 )/3.4.1 Метод Симпсона при n =1 Подынтегральную функцию f(x) заменим полином второй степени P 2 (x) - параболой, проходящей через равноотстоящие точки x 0,x 1,x 2. В данном случае X 0 =a X 1 =c = (a+b)/2 X 2 = b H = (b-a)/2n Полученное уравнение имеет вид: = (b-a)/2n (a cos(a))+(c cos(c))+(b cos (b))/3 Подставляем исходные данные и получаем: = ( -0)/2.1 (0 cos(0))+( cos( ))+( cos ( ))/3 = - 1,645 =-1,645 1.4.2 Метод Симпсона при n=2 В данном случае исходный отрезок a;b разбиваем на 2: a;c и c;b.
Подынтегральную функцию f(x) заменим полином второй степени P 2 (x) - параболой, проходящей через равноотстоящие точки x 0,x 1,x 2 - на первом отрезке и x 2,x 3,x 4 - на втором отрезке. В данном случае X 0 =a X 1 =d = (a+c)/2 X 2 = с= (a+b)/2 3 = e = (c+b)/2 4 =b=(b-a)/2n Полученное уравнение имеет вид: = (b-a)/2n( ((a cos(a))+(d cos(d))+(c cos (c))/3)+((c cos(c)) + 4(e cos(e)) + (b cos(b))/3)) Подставляем исходные данные и получаем: = ( -0)/2.1(( (0 cos(0))+( cos( )) + ( cos (.
Вычисление интеграла методом Гаусса Метод Гаусса - метод численного интегрирования, позволяющий повысить алгебраический порядок точности методов на основе интерполяционных формул путём специального выбора узлов интегрирования без увеличения числа используемых значений подынтегральной функции. Метод Гаусса позволяет достичь максимальной для данного числа узлов интегрирования алгебраической точности. Пусть плачут те кому мы не достались песня. Например, для двух узлов можно получить метод 3-го порядка точности, тогда как для равноотстоящих узлов метода выше 2-го порядка получить невозможно. В общем случае, используя точек, можно получить метод с порядком точности. Значения узлов метода Гаусса по точкам являются корнями полинома Лежандра степени и приводятся в справочниках специальных функций вместе с соответствующими весами. Формула: =, Где t- координаты узлов C k - весовые коэффициенты 2.1 Одноточечная схема метода Гаусса. При наличии 1-го узла t=0 c k = 2 Формула имеет вид: = Подставим в данную формулу исходные данные и получим: = =0 =0.2 Двухточечная схема метода Гаусса При наличии 2-х узлов t 1 =-1/ t 2 = 1/ c 1 = 1 c 2 = 1 Формула имеет вид: = Подставим в данную формулу исходные данные и получим: = = -2,244 =-2,244.3 Трехточечная схема метода Гаусса При наличии 3-х узлов t 1 = - t 2 = 0 t 3 = c 1 = 5/9 c 2 = 8/9 c 3 =5/9 Формула имеет вид: = Подставим в данную формулу исходные данные и получим: = = -1,992 =-1,992 3.
Сравнительный анализ точности полученных результатов МетодТочное значение интеграла =ПогрешностьАналитически-2-Средних прямоугольников, n=10-2,584Средних прямоугольников, n=2-1,745-0,636Трапеций, n=1-4,9358,117Трапеций, n=2-2,4670,646Симпсона, n=1-1,645-0,355Симпсона, n=2-1,9860,014Гаусса, n=10-2Гаусса, n=2-2,2440,244Гаусса, n=3-1,992-0,008 4. Вычисление интеграла 4.1 Аналитически Вычислим внутренний интеграл i=. Интеграл суммы равен сумме интегралов, следовательно: = + = 2. + x = (2/3 + ) =,639 + 3,14 Подставим полученное значение во внешний интеграл и вычислим его.
= + =20,639y +,14 = 64,807 + 32, 404 = 97,211 4.2 Метод Гаусса. Двойной интеграл вычисляется методом Гаусса аналогично одномерному случаю.2.1Одноточечная схема. При наличии 1-го узла =0 c i,j = 2 Формула имеет вид: = Подставим в данную формулу исходные данные и получим.
Методы Ньютона-Котеса 2.2.1. Метод прямоугольников Одним из простейших методов численного интегрирования является метод прямоугольников. На частичном отрезке подынтегральную функцию заменяют полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. В качестве этой точки можно выбрать середину частичного отрезка. Тогда значение интеграла на частичном отрезке: (2.6) Подставив это выражение в (2.4), получим составную формулу средних прямоугольников: (2.7) Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис.2.2(a). Из рисунка видно, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из N прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы N элементарных прямоугольников.
Численное Интегрирование Курсовая Работа
Формулу (2.7) можно представить в ином виде: или (2.8) Эти формулы называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников представлен на рис.2.2(б, в). Однако из-за нарушения симметрии в формулах правых и левых прямоугольников, их погрешность значительно больше, чем в методе средних прямоугольников. А) средние прямоугольники б) левые прямоугольники в) правые прямоугольники Рис.2.2. Интегрирование методом прямоугольников 2.2.2.
Метод трапеций Если на частичном отрезке подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени: (2.9) то искомый интеграл на частичном отрезке запишется следующим образом: (2.10) Тогда составная формула трапеций на всем отрезке интегрирования примет вид: (2.11) Графически метод трапеций представлен на рис.2.3. Площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из N трапеций, при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной. На каждом из частичных отрезков функция аппроксимируется прямой, проходящей через конечные значения, при этом площадь трапеции на каждом отрезке определяется по формуле 2.10. Погрешность метода трапеций выше, чем у метода средних прямоугольников.
Однако на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда. Интегрирование методом методом трапеций 2.2.3. Метод Симпсона В этом методе подынтегральная функция на частичном отрезке аппроксимируется параболой, проходящей через три точки, то есть интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени: (2.12) Проведя интегрирование, получим: (2.13) Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке формула Симпсона примет вид: (2.14) Если разбить отрезок интегрирования на четное количество 2 N равных частей с шагом, то можно построить параболу на каждом сдвоенном частичном отрезке и переписать выражения (2.12-2.14) без дробных индексов.
Тогда формула Симпсона примет вид: (2.15) Графическое представление метода Симпсона показано на рис.2.4. На каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой параболой. Метод Симпсона 2.2.4.
Семейство методов Ньютона-Котеса Выше были рассмотрены три схожих метода интегрирования функций – метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона. Их объединяет общая идея: интегрируемая функция интерполируется на отрезке интегрирования по равноотстоящим узлам многочленом Лагранжа, для которого аналитически вычисляется значение интеграла. Семейство методов, основанных на таком подходе, называется методами Ньютона-Котеса. В выражении коэффициенты правильнее называть весовыми коэффициентами. Величину, определяющую погрешность численного интегрирования, называют остатком. Для семейства методов Ньютона-Котеса можно записать общее выражение: (2.16) где n – порядок метода Ньютона-Котеса, N – количество частичных отрезков,.
Численное Интегрирование Реферат
Из выражения (2.16) легко можно получить формулу прямоугольников для, формулу трапеций для, и формулу Симпсона. Коэффициенты могут быть заданы в табличной форме (таблица.2.1).
N 0 1 1 1 2 1 1 2 6 1 4 1 3 8 1 3 3 1 4 90 7 32 12 32 7 5 288 19 75 50 50 75 19 Таблица 2.1. Весовые коэффициенты метода Ньютона-Котеса.